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たまひびとらの絵本の実

読書好きな姉妹と弟と父母の読んだ本

数理モデリング入門 ―ファイブ・ステップ法 

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数理モデリング入門 ―ファイブ・ステップ法
数理モデリング入門 ―ファイブ・ステップ法

去年から積まれていた本書をコロナウイルス在宅で読む。生物、ビジネス、軍事、物理現象、ロケット操縦などの現実の問題をどうやってモデル化し、どうやって解くのか。本書の半分では解析解を紙とペンで追ってみて、残り半分ではPythonで近似解を求めるプログラムを作ってみた。プログラムの方が楽だね。たとえば1変数の動き方が変わった場合、プログラムなら1行加えればいいけど、解析解なら解けるかどうか含めてやりなおしとなる。本書を読み進めるには、ラグランジュの未定乗数法(グラディエント∇f と∇gが接する)、固有値固有ベクトルによる連立微分方程式解法、フーリエ変換による拡散方程式、待ち行列MM1、各種近似法などの数学が必要で非学生にはつらい。一番最後の例題9.5はよくわからなかった。分数階微分だけでなく、どこから来たのかわからない確率、中心極限定理の変形型などが組み合わさっている。

5 steps とは
1. 問題に現れる変数、変数に関する等式・不等式、を書き出す
2. その問題に適するモデル・解法を選ぶ(最適化、線形計画、整数計画、定常状態モデル、連続・離散ダイナミックシステム、シミュレーション、時系列、離散的・連続的確率モデルなどなど)
3&4. 上で決めた数学モデルを解く
5. 解を数式でなく言葉で説明
解析解でも近似解でも、計算ができるようになったら、重要なパラメーターを動かして過程・結果がどう変わるのかをレビューする。

エルゴード性の説明もあった。マルコフ連鎖において、集合要素のすべてからすべてへ有限ステップで移動できればエルゴード的とされる。エルゴード的ならば初期条件によらず定常状態が存在する。マルコフ連鎖をどう使うのかがわかる例題8.1は、「在庫が0になったら3個入庫する(よってターン終わりの在庫は常に1 or 2 or 3)。毎ターンの平均売上は1個。さて、在庫以上の買い手がいるという機会損失はどれくらい生まれるか」というもの。これは売上をポアソン分布とみて、3要素のマルコフ連鎖で約10%と解ける。

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category: 父の本

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