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たまひびとらの絵本の実

読書好きな姉妹と弟と父母の読んだ本

数論の3つの真珠 


数論の3つの真珠 (はじめよう数学)数論の3つの真珠 (はじめよう数学)
(2000/09)
ア・ヤ ヒンチン

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最近数学の本を読んでないので、タイトルは何となくフレンドリーそう(≒やさしそうかも)と思って読み始めたら、第1章で撃沈。最初の3章が3つの真珠の本文なんだけど難しい。世の中にはこれを読みこなす高校生もいるっていうんだからあっぱれだ。第1章からコケたので、本の後半である解説を読む。3つ目の真珠であるウェアリングの問題は難しすぎるので、その足慣らし的なフェルマーの2平方定理の無限降下法による証明を以下にまとめておく(本書解説より)。ラグランジュの4平方定理もほぼ同じ手法で証明できる。

定理:p ≡ 1 (mod 4) で表される素数は2平方和で書ける
以下証明
① オイラーの定理により、奇素数pにおいて、p ≡ 1 (mod 4) ⇔ x^2 ≡ -1 (mod p) である。よって、x^2 ≡ -1 (mod p) は解を持つ。
② この解xは0<x<pにとれる。ちょっと工夫すると0<x<p/2 にとれることがわかる(P/2<x<pにおけるx’=p-xを考えてみよ)。
③ 自然数kを用いて、x^2 + 1 = kp と表せる。k = (x^2 + 1)/p ≦p/4 + 1/p < p (pは5以上の素数)。つまり、k < p となる(この大小関係はこのあと無限降下をするときに重要となる)。
④ x^2 + 1 = kpに整数解あるので、x^2 + y^2 = kpにも整数解ある。k=1 であれば定理どおり。
⑤ k > 1 のとき、 整数解x and yと、mod kで合同かつ最小なx1 and y1を考える。すると、x1^2 + y1^2 ≡ 0 (mod k) となる。mod kの世界であり、②と同様の工夫で、0<x1<k/2 and 0<y1<k/2がわかる。よって、x1^2 + y1^2 = k’kと表せる。③と同じ議論で、0<k’<kである。
⑥ x^2 + y^2 = kp とx1^2 + y1^2 = k’k をかけて、さらにk^2で割ると、x2^2 + y2^2 = k’pとなる。ただし、x2 = (x1x + y1y)/k , y2 = (y1x – x1x)/kである。x2^2 + y2^2 = k’p のk’はkより小さいので、無限降下し、いずれk=1 となり定理が示される。


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category: 父の本

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自然数

 自然数は、[絵本]「もろはのつるぎ」で・・・
絵本のまち有田川 #- URL [2020/01/15 11:52] edit

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