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たまひびとらの絵本の実

読書好きな姉妹と弟と父母の読んだ本

計量時系列分析 

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計量時系列分析
計量時系列分析

だんだん理解できるようになってきた気がする。本書は評判通りわかりやすい。最初にこれを読めばよかった。

第1章第2章
MA過程: 常に定常。
AR過程: AR特性方程式のすべての解の絶対値が1より大きければ定常。そのときAR過程はMA(∞)過程で表すことができる。
ARMA過程: MA部分は常に定常なので、AR部分のAR特性方程式が上の条件を満たせば定常。そのときARMA過程はMA過程で表すことができる。逆に、MA部分をAR(∞)過程で表せるとき(=反転可能)、ARMA過程はAR過程で表すことができる。つまり一定の条件を満たせば、ARMA過程もMA過程もAR過程も同じようなもの。
モデルの選定: わかりやすい解説。簡単な例題を元に、標本自己相関の期数からMA候補を、標本偏自己相関の期数からAR候補を、そして減衰とみなした場合のARMA候補を選び、それぞれのAIC or BICで比較。

第3章予測
MSEを最小化する予測。ここで自分の重大な勘違いが判明した。ホワイトノイズでは、k≠0でE(XY) = E(X)E(Y)なので独立と言えるのかと思ってたけど、独立の条件はあくまでP(A⋂B)=P(A)P(B)であり、期待値が積で表せることは条件ではない。実際ホワイトノイズに独立条件はない。よって、将来予測ではホワイトノイズでなく正規ホワイトノイズ想定(iid = 独立かつ同一分布)を使い、正規分布の再生性を利用して予測を行う。

第4章 VARモデル(こちらも参考にさせていただきました)
AR(p)モデルをベクトルに拡張。線形代数の知識を補いながら読む。

グレンジャー因果性: 他の変数は予測に貢献しているのかを調べる。他の変数を加えて予測すると残差平方和が減るのかをF統計値で調べるんだけど、なんとこのF統計値はF分布に従わずカイ2乗分布に従う(!!!)。グレンジャー因果性の検定は、帰無仮説H0が因果性を調べたい変数の係数=0というもの。つまり、F統計値がカイ二乗分布の棄却域を超えた場合、帰無仮説棄却→係数0棄却→因果性あり、となる。

インパルス応答関数: ベクトルYtの各yでのショックが、他のyにどれだけ影響するか。ここも線形代数復習が必要。ざっくり言ってしまえば、下三角行列を使って直行攪乱項に分解するので、一番上の変数yはその攪乱項のみに影響され、2番目の変数yは1番と2番の攪乱項に影響され、3番目の変数yは1番2番3番の攪乱項に影響されるようになる(再帰的構造)。各yへの影響は攪乱項を微分して計算する。再帰的構造により、変数の並べ方が重要になる。

分散分析: インパルス応答関数で使った直行攪乱項を使って、各yの将来予測MSEへの寄与率を調べる。この分析の目的は上のインパルスと同じ。

構造VARモデル: VARモデル式の左辺に行列をかけることで、左辺側にベクトルYtの各成分yを並べる。よって、各yの関係性も取り込める。このモデルはうまく計算すると再帰的構造VARモデルとほぼ同様になる。

問題では statsmodels.tsa.api が活躍。
1. 必要なライブラリをインポート。データをpandasのdfとする。
2. data = dfの必要なデータとし、対数差分などとる。
3. model = VAR(data)とし、model.select_order(10).summary()で、モデル選択
4. results = model.fit()して results.summary()

第7章 GARCHモデル (こちらも参考にさせていただきました)
昔クオンツの人がこれはGARCHモデルです、と言ってたけど意味わかんなかったんだよね。要は、ボラティリティ(分散)をARしたのがARCHで、ボラティリティをARMAしたのがGARCH。ARCHでもGARCHでもとにかく重要なのは E[Ht|1期前までの情報]=Ht となるところ。これにより予測の分散の計算ができる。ここでも正規分布の再生性が使われる。ボラティリティの時系列モデル化により、ボラティリティは過去をひきずり、高くなったボラティリティは一定期間高くなる。

GARCHモデルでは、一番単純なGARCH(1,1)が最も有効なことが多い。上記のとおりGARCHモデルのHtは、過去のHt (つまりAR部分)と過去の攪乱項(つまりMA部分)の和となっている。GARCHにさらにツイストを加えたモデルもいくつか紹介される。たとえば負のショックの方がボラティリティが高まる GJRモデル。Ht式で何を仮定するかでモデルの違いが生まれる。

GARCHモデルはベクトル(つまり多変量)に拡張可能。その次に説明されるコピュラはよくわかんないね。一般に確率密度関数は分布関数化で(0, 1)にできるのでそれを利用しているようには見える。

第8章 状態変化
観測できる値(たとえばYt)の値によってパラメータが変わるモデルと、観測できない値Stによってパラメータが変わるモデル(こちらはマルコフ)が説明される。マルコフの方は、どの状態にあるのかが観測できないので、どのモデルがその時点で使われているのかは推測するしかない。そこで使われるフィルター化確率のロジックはよくわかんない。なんでフィルター化確率でP(St=1|Ωt)が求まるの?

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